Как доказать что параллелограмм - прямоугольник

Дан параллелограмм ABCD. Точка M является серединой АВ. И MC = MD.

Рассмотри треугольники AMD и BMC. Они равны по третьему признаку - по трем равным сторонам. AD = CB (так как это противоположные стороны параллелограмма) , AM = MB (по условию М - середина АВ) MD = MC (по условию) . Тогда равны соответствующие углы - угол А равен углу В. Но эти углы в параллелограмме внутренние односторонние для параллельных AD и BC, в сумме они 180 гр, значит каждый по 90°. Тогда противоположные углы С и D тоже по 90°. Параллелограмм является прямоугольником.

Через середины двух смежных сторон правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса 3 см, проведена хорда. Найдите длину этой хорды

Квадрат АВСД вписан в окружность с центром О - пересечение диагоналей, хорда МН, пересекает АВ в точке К, ВС в точке Р,  треугольник АВС, КР-средняя линия треугольника = 1/2АС, АС = 2*радиус = диаметр = 2*3 = 6, КР = 6/2 = 3, проводим ОР и ОК., КВРО квадрат, КВ = ВР = РО = ОК = 1/2 стороны квадрат, КР-диагональ в квадрате КВРО = 3 = ВО, О1 пересечение диагоналей КР и ВО, которые в точке пересечения О1 делятся пополам, ОО1 = О1В = ВО/2 = 3/2 = 1,5 = 3/2, проводим радиусы ОМ и ОН, треугольник ОМН равнобедренный, ОМ = ОН = 3, ОО1 = высота = медиана, треугольник ОМО1 прямоугольный, О1М = корень(ОМ в квадрате-ОО1 в квадрате) = корень(9-9/4) = корень((36-9)/4) = 3*корень3/2, МН-хорда = 2*О1М = 2*3*корень3/2 = 3*корень3.

Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AB = 12см, BC = 14см, AD = 3см, угол B = 150°

1) Площадь трапеции находится по формуле: S = (a+b)/ 2 и эту дробь умножаем на h (высоту).
Высота равна 6 (из прямоугольного треугольника), поэтому площадь трапеции равна: (14+3)*6/2 = 51.

2) Не совсем привычная трапеция - в ней верхнее основание больше нижнего.
Сделаем рисунок.
Из вершины В опустим высоту ВН на продолжение АD. 
В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.  Поэтому угол ВАD равен 30°
В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН противолежит углу, равному 30° и потому равен половине гипотенузы АВ. 
ВН = 12:2 = 6 см 
S(ABCD) = ВН*(ВС+АD):2 
S(ABCD) = 6(14+3):2 = 51 cм²

Другой вариант при AD = 30 см

3) проведем высоту (например ВК)
т. к. АВСД -трапеция, то ВС параллельно АД (основания)
Рассмотрим треугольник АВК:
угол АВК = 60° (т. к. ВС параллельно АД, угол АКВ = 90° - ВК высота, угол АВС = 150°,)
АВ = 12 см (гипотенуза) , значит угол ВАк = 30° и ВК = 6 см
S = (ВС+АД) /2 *ВК = 132 см²

Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности 4√3 см.

По теореме косинусов любая сторона правильного треугольника
а² = R²+R²-2·R·R cos 120 = 3R² = 3·16·3 = (3·4)² = 12²
Сторона треугольника 12
Площадь 1/2 умножим на 12 на 12 на sin 60 = 144·√3 /4 = 36√3
C другой стороны площадь треугольника равна произведению полупериметра р умноженному на радиус вписанной окружности r
отсюда r = 36√3: 18, р = 1/2( 12+12+12) = 18
r = 2√3

Площадь большого круга равна πR² = π·16·3 = 48π кв ед
Площадь маленького    πr² = π·4·3 = 12 π кв ед
Длина окружности маленькой  c = 2πr = 2π·2·√3 = 4π·√3

Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороны угол, один из которых на 30° меньше другого

   Пусть х- один угол, тогда второй - х+30. При пересечении диагоналей образуется прямоугольный треугольник с углом 90 градусом.
  х+х+30+90 = 180
2х+120 = 180
2х = 60
х = 30
1 угол = 30°, тогда 2 угол 2х30 = 60
Поскольку ромб это параллелограмм то он имеет все свойства параллелограмма, соответственно противолежащие углы равны. То есть, если 1 угол равен 30, то противолежащий угол тоже равен 30°. С 2 углом тоже самое. Ответ: 30, 60, 30, 60.
Такс, в ромбе диагональ выполняет функцию биссектрисы, значит 2х30 = 60, 2х60 = 120, потому что биссектриса делит углы пополам.

В пространстве дана прямая а и не принадлежащая ей точка А. Как провести прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А? Сколько таких прямых?

Во-первых такая прямая одна. Как построить (один из вариантов решение не единственное):
1) Выберем точку Б на прямой а
2) с помощью циркуля очертим окружность с центром в точке А и радиусом АБ, вторую точку пересечения этой окружности с прямой а обозначим Б'
3) подели отрезок ББ' пополам и середину отметим как точка В
4) проведем АВ
Ответ: АВ - перпендикуляр к а, проходящий через А.

Биссектриса одного из углов прямоугольника делит одну из его сторон на два отрезка, длины которых 12см и 8см. ВЫЧИСЛИТЕ ДЛИНЫ СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Возьмём прямоугольник ABCD. Где АМ - биссектриса, которая делит ВС на ВМ и МС.
1 СЛУЧАЙ, ГДЕ ВМ = 12см, МС = 8см.
Треугольник ABM-равнобедренный т.к. Угол MAD = BMA, BAM = CMA(Накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и АD и секущей АМ) И т.к. АМ биссектриса, то BAM = MAD. Отсюда следует,что BAM = BMA. BM = BA = 12. ВС = BM+BС = 12+8 = 20см.
Ответ: BA = CD = 12, BC = AD = 20
2 СЛУЧАЙ, ГДЕ ВМ = 8см, МС = 12 см.
ВС по-прежнему равен 20 см. ВМ = ВА = 8см
Ответ: BA = CD = 8. BC = AD = 20 см.

В треугольнике даны 2 стороны и угол, лежащий против одной из этих сторон. Вычислите третью сторону и остальные 2 угла треугольника

b = 9, с = 10, В(бетта) = 45°

Для специальных видов треугольников существуют дополнительные, в том числе более простые формулы для вычисления площади: 
Как вычислить площадь прямоугольного треугольника? 
Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого составляет 90° (является прямым) . Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, прямой угол в треугольнике может быть только один. 
Ниже приводятся формулы вычисления площади S, специфические для прямоугольных треугольников. Обозначения: с — длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу) , a, b — длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу) , α, β — величины противолежащих этим катетам углов (α + β = 90°).

На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AE и CK. Докажите, что четырёхугольник BEDK-параллелограмм

1) Треугольники АВЕ и СDK равны по первому признаку ( АЕ = СК - дано, треугольник АВС равен треугольнику СДА по трем сторонам) значит, ВК = ЕД и следовательно ВЕДК - параллелограмм, что и требовалось доказать.

2) АВ = СД так как ABCD - параллелограмм, а угол ВАЕ равен углу DCK, потому
так как ABCD - параллелограмм, а угол ЕАД равен углу КCВ, потому что
что треугольник АВС равен треугольнику СДА по трем сторонам)
следовательно ВЕ = КД и треугольники АЕД и СКВ равны по первому признаку.

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности...

Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов треугольника равно 512.

Есть два варианта. Отсеченный треугольник очевидно подобен исходному, и по условию, подобен Пифагоровому треугольнику со сторонами 5,12,13.

1) пусть 10 - это меньший катет ОТСЕЧЕННОГО треугольника. Тогда его (отсеченного треугольника) стороны равны 10, 24, 26. Нужно найти радиус ВНЕвписанной окружности, касающейся катета 10.
ПОЛУпериметр p  = (10 + 24 + 26)/2 = 30; площадь S = 10*24/2 = 120; 
S =  ρ*(p - 10); ρ = 120/20 = 6;

2) пусть теперь 10 - это больший катет отсеченного треугольника (это значит попросту, что перпендикуляр проведен "с другой стороны" окружности). Длины сторон его можно представить в виде 5*x; 12*x; 13*x; причем 12*x = 10; x = 5/6;
Площадь S = 30*х^2; полупериметр p = 15*x; ρ = S/(p - 12*x) = 10*x = 25/3;

Формула S = (p - a)*ρ; (ρ - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a и продолжений двух других сторон b и c произвольного треугольника) совершенно аналогична формуле S = p*r; и получается точно таким же образом - надо соединить центр окружности с вершинами треугольника, и искать площадь треугольника через три получившихся треугольника, у которых высоты ρ, а основания - стороны  исходного треугольника, и сразу получится S = c*ρ/2 + b*ρ/2 - a*ρ/2 = (p - a)*ρ;